Άλλα μηνύματα του μέλους Kostakis3 σε αυτό το thread

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:

Θεωρώ x1, x2 ανήκουν R τέτοια ώστε x1<x2. Έχουμε:

g(x2)-g(x1)=f(3x2-2)-f(1-2x2)-f(3x1-2)+f(1-2x1)=[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]

x1<x2 => 3x1x2 => 3x1-2x2-2 => f(3x1-2)>f(3x2-2) => f(3x2-2)-f(3x1-2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα
x1<x2 => -2x1>-2x2 => 1-2x1>1-2x2 => f(1-2x1)<f(1-2x2) => f(1-2x1)-f(1-2x2)<0 αφού f γνησίως φθίνουσα

Αν προσθέσω κατά μέλη τις 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτει:
[f(3x2-2)-f(3x1-2)]+[f(1-2x1)-f(1-2x2)]<0 => g(x2)-g(x1)<0 => g(x1)>g(x2)

Για κάθε x1, x2 στο R με x1<x2 ισχύει g(x1)>g(x2). Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Click για ανάπτυξη...

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:

Για x>0 προκύπτει f(x)>f(0) => f(x)>0 αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα f(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

x>0 => x+1>1 => ln(x+1)>ln1 => ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

Επειδή f(x)>0 και ln(x+1)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο) τότε g(x)>0 για κάθε x στο (0,+άπειρο)

Το "Να δείξετε ότι g(x)>0 για κάθε χ ανήκει R" είναι λάθος αφού το πεδίο ορισμού της g είναι το (0,+άπειρο).

Click για ανάπτυξη...