Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
16-03-21
23:05
Ευχαριστω παιδια, όντως στον Μπάρλα το δίνει έτοιμο, τώρα το είδα.
Γενικά, να μη βασίζεσαι στα βοηθήματα για τη θεωρία αλλά στην ύλη του σχολικού βιβλίου και τις οδηγίες του ΙΕΠ που εκδίδονται κάθε χρόνο - οι ίδιες είναι συνήθως κάθε χρόνο - για το τι θεωρείται γνωστό και τι όχι. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα «μηδενική επί φραγμένη» δεν είναι στο οπλοστάσιό σας, αλλά είναι το παραπάνω όριο. Βέβαια, όταν έχουμε μηδενική επί φραγμένη είμαστε ένα κριτήριο παρεμβολής μακριά από τη λύση, οπότε μικρό το κακό.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
09-01-21
10:58
Sorry my bad,για το 3ου βαθμού, το θυμόμουν λάθος.
Πάντως ναι, εφόσον έχεις υπολογιστή δεν χρειάζεσαι γενικά κανέναν τύπο, κάνεις "brute force" στο πρόβλημα με αριθμητικές μεθόδους και βρίσκεις τις ρίζες .
Πραγματικά, όμως, ακόμα και τον τύπο του Cardano να πας να χρησιμοποιήσεις, είναι αρκετές οι περιπτώσεις που, αν πας με το χέρι, σου βγαίνει η ψυχή, αν πας με μηχάνημα, βγαίνει άθλιο αποτέλεσμα - θα έγραφα και παράδειγμα εξίσωσης, αλλά είναι πολύ μικρά τα... περιθώρια. :Ρ
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
08-01-21
22:58
Για πολυώνυμα δε μεγαλύτερης της τρίτης τάξης δεν υπάρχει καμία μέθοδος εύρεσης ριζών(πέρα εποπτείας και πάλι και αριθμητικών μεθόδων)
Για να μη δημιουργούνται παρανοήσεις, οι πολυωνυμικές εξισώσεις μέχρι και 4ου βαθμού έχουν «τύπους» που δίνουν τις ρίζες τους, όπως και ειδικές μορφές εξισώσεων μεγαλύτερων βαθμών. Ωστόσο η γενική πολυωνυμική εξίσωση 5ου ή μεγαλύτερου βαθμού δεν μπορεί να λυθεί μέσω «τύπου» - όπου λέγοντας τύπο εννοώ ότι δεν είναι εφικτό να υπολογιστούν οι ρίζες μέσα από τους συντελεστές της.
Πάντως, και που υπάρχει ο τύπος για τις τεταρτοβάθμιες, άχρηστος είναι πρακτικά, αφού είναι τόσο άσχημος που και αριθμητικά δεν έχει νόημα να τον χρησιμοποιήσεις σε έναν υπολογιστή - δίνει συχνά μεγάλα αριθμητικά σφάλματα. Για περισσότερα, απόδειξη και τον σχετικό τύπο έχει η wikipedia.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
14-06-20
11:18
Παιδιά, καλή επιτυχία για αύριο και γενικά, για τις εξετάσεις σας!
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
13-06-20
00:02
Άντε, και με τη νίκη!
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
08-06-20
22:22
Καλησπερα, θεωρειται πως οταν μας δινουνε μια ανισοτικη σχεση για παραδειγμα α^χ>= χ^α και μας λενε να βρουμε το α με φερματ θα πρεπει να γινει και επαληθευση? Δηλαδη αν θεωρησουμε συναρτηση και παρουσιαζει ελαχιστο θα πρεπει να βαλουμε για α την τιμη που θα βρουμε και να δειξουμε οτι παρουσιαζει ελαχιστο?
Αναλόγως πώς είναι διατυπωμένη η άσκηση. Ας δούμε δύο παραδείγματα - δε θα τις λύσουμε, απλώς θα τις σχολιάσουμε.
Παράδειγμα 1: Αν ισχύει ότι
Εδώ κάνεις Fermat και βρίσκεις α=e. Τίποτα παραπέρα.
Παράδειγμα 2: Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες ισχύει ότι
Εδώ κάνεις Fermat, βρίσκεις α=e και επαληθεύεις μετά με απλή αντικατάσταση και απόδειξη της ανισότητας - εδώ ειδικά, δε χρειάζεται, γιατί η ανισότητα είναι γνωστή.
Ποια είναι όμως η διαφορά ανάμεσα στα δύο παραδείγματα;
Λοιπόν, στο παράδειγμα 1 σου δίνει μία υπόθεση - ότι η f είναι μη αρνητική - και σου λέει να βρεις το α δεδομένης αυτής της υπόθεσης. Με άλλα λόγια, σου ζητάει να βρεις μία αναγκαία συνθήκη έτσι ώστε η f να είναι μη αρνητική, δηλαδή να βρεις ποιες είναι οι τιμές του α στις οποίες πρέπει να περιοριστούμε έτσι ώστε ενδεχομένως να ισχύει η υπόθεση. Άλλωστε, αν παρατηρήσεις την εκφώνηση, δε σου ζητάει πουθενά να αποδείξεις ότι η f είναι μη αρνητική, αλλά να υποθέσεις αυτό (αν...) και να πας παρακάτω για να δείξεις κάτι άλλο.
Στο δεύτερο παράδειγμα, σου ζητάει να βρεις τις τιμές για τις οποίες η υπόθεση είναι αληθής. Με άλλα λόγια, δε σου επιτρέπει να πάρεις την υπόθεση ως δεδομένη όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αλλά σου ζητάει να διερευνήσεις για ποιες τιμές αυτή αληθεύει. Για να το κάνουμε αυτό:
- πρώτα υποθέτουμε ότι η f είναι μη αρνητική, κάνουμε Fermat και βρίσκουμε τις πιθανές τιμές του α - δηλαδή την αναγκαία συνθήκη για να είναι η f μη αρνητική και,
- μετά δείχνουμε ότι αυτή η συνθήκη ήταν ικανή, δηλαδή ότι, πράγματι, για αυτήν την τιμή του α που βρήκαμε η f είναι μη αρνητική.
Παράδειγμα 1: Να δείξετε ότι
Παράδειγμα 2: Να δείξετε ότι
Επομένως, στο πρώτο έχεις να δείξεις μόνο τη μία κατεύθυνση ενώ στο δεύτερο και τις δύο - άρα θες και επαλήθευση.
Οπότε, εξαρτάται το τι πρέπει να κάνεις από το τι σου ζητάει η εκφώνηση.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
07-06-20
18:52
Δεν γίνεται να βαλουν κυκλικό τομέα/κωνικές τομες/πυραμίδες και όλα αυτά εφόσον δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο (έτσι μου έχει πει ο καθηγητής μου) . Αν είναι να πέσουν,θα βάλουν κύκλο/τετραγώνο/ορθ τριγ./ορθ παρ/ορθ παρ.επ/τετραπλευρο etc.. Επίσης για να σου απαντήσω στις απορίες σου. Στα σχολεία μαθαίνουμε μαθηματική ανάλυση και την ευκλείδια γεωμετρία την έχουμε παραμελήσει (όπως και ο περισσοτερός κόσμος στο εξωτερικό) και μου φαίνεται πολύ λογικό καθώς πλέον υπάρχουν μηχανήματα που αυτοματοποίουν τις λειτουργίες αυτές. Εξάλλου, δεν υπάρχει ευκλείδια γεωμετρία -εύκολα- στην ζωή. Προφανώς ωστόσο και την χρειάζονται οι μηχανικοί ,οι μαθηματικοί και οι φυσικοί. Όλοι οι υπόλοιποι,μόνο τα βασικά χρείαζονται στην ζώη τους
Κυκλικός τομέας: Β' λυκείου, Γεωμετρία, Γ' λυκείου, άσκηση σχολικού.
Κωνικές τομές: Κύκλος, έλλειψη, παραβολή, υπερβολή, κατεύθυνση της Β'.
Είναι στην ύλη σας και υπάρχει η δυνατότητα να ζητηθούν - άσχετο που δεν είναι πιθανό. Αλλά δεν είναι έξω από την ύλη σας. Προφανώς, δε θα πάτε τώρα να ανοίγετε όλα τα βιβλία των προηγούμενων τάξεων να δείτε ασκήσεις, αλλά ως έννοιες μπορούν να ζητηθούν.
Δεν θέλω να αναφέρω όνοματα,αλλα οι συγκεκριμένοι έστειλαν παίδια σε χαρβαρντ,mit , cambridge γιατί σε αντίθεση με καθήγητες που έχουν κόμπλεξ και βάζουν οτι πιο συνδυαστικό υπάρχει για να μπερδέψουν τα παιδιά ,γνωρίζουν οτι πράγματα όπως κωνικές τομές (που δεν έχω δει ποτέ στην ζώη μου), δεν χρείαζονται -πλεον!- και άρα δεν χρείαζεται να φορτώνεται ο μαθήτης με πληροφορίες που του είναι άχρηστες
Κωνικές τομές έχεις δει στη ζωή σου. Broadly, βλέπεις το δορυφορικό πιάτο στην απέναντι ταράτσα που είναι παραβολοειδές, όπως και οι προβολείς των αυτοκινήτων. Έχεις δει και μία ολόκληρη χρονιά στην κατεύθυνση. :Ρ
Σε σχέση με το αν είναι χρήσιμα, η Ευκλείδεια Γεωμετρία όπως την έκανε ο Ευκλείδης - όχι ο δικός μας :Ρ - δεν είναι πρακτική, σε αντίθεση με την αναλυτική γεωμετρία που έχει αρκετές εφαρμογές. Αυτό δε σημαίνει ότι δε χρειάζεται να τη μάθεις - προτασιακή λογική κ.λπ., τα έχουμε ξαναπεί αυτά αλλού.
Τα θέματα, τα τελευταία χρόνια, δεν μπαίνουν για να σας μπερδέψουν, αλλά για να κάνουν την κατάλληλη κατανομή των μαθητών σε σχέση με τη μαθηματική τους παιδεία. Αν έχει ένα παιδί κενά από προηγούμενες τάξεις στις έννοιες και όχι στο ασκησιολόγιο λογικό μου φαίνεται να πρέπει να είναι τα θέματα των πανελλαδικών τέτοια ώστε να μπορεί κανείς να το διακρίνει αυτό. Όπως έγινε με την παραγώγιση της
Το θέμα είναι, τώρα, να τα αξιοποιήσουν και κάποια άτομα στο υπουργείο αυτά...
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
07-06-20
14:00
Γιατί τέτοιο πετσόκομμα στα όρια ξαφνικά ; Πως διαφέρουν απο της γενικής πλέον άρα ;
Copy paste τις κάνει το ΙΕΠ τις οδηγίες κοντά μια δεκαετία. :Ρ Πάντα αυτά ίσχυαν απλά άλλες επιτροπές παλαιότερα ήταν πιο «ενδοτικές» στις άρρητες πιέσεις των φροντιστηρίων και απομακρύνονταν από το σχολικό βιβλίο. Θεωρητικά, ο στόχος όλης της Γ' λυκείου είναι να λύσουμε δύο προβλήματα:
- τη χάραξη της γραφική παράστασης παραγωγίσιμης συνάρτησης,
- τον υπολογισμό εμβαδών - ή/και έργων κ.λπ.
@Papachrist
- 3α) Γράψε τη σχέση ως εξής:
- 3β) Έχει εύκολη παράγωγο, δε θα σε δυσκολέψει.
- 3γ) Εκτός από αυτό που σου είπε ο Ευκλείδης, σκέψου και το εξής: Έστω,
- 3δ) Fermat.
- 4α) Πράξεις.
- 4β) Χρησιμοποίησε το γεγονός ότι
- 4γ) Παρατήρησε ότι
- 4δ) Απαλοιφή παρονομαστών και θεωρείς συνάρτηση - μετά θέλει μαγείρεμα. Αν κολλήσεις με αυτόν τον τρόπο, βγαίνει κι αλλιώς.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
06-06-20
22:40
ναι την ακουσα την οδηγια αυτη ομως δεν νομιμοποιουνται να βαλουν ενα οριο που απαιτει χρηση l hospital μονο γτ θεωρειται εκτος υλης.η οδηγια ειναι προς αυτους που θελουν να χρησιμοποιησουν ενα l hospital σε ορια που βγαινουν και με αλγεβρικο τεχνασμα και βαριουνται να χρησιμοποιησουν απλες ταυτοτητες απλα κανουνε απευθειας l hospital.εγω τουλαχιστον αυτο καταλαβα
Επιτρέπεται - με την έννοια ότι είναι και «οδηγία» προς τα Βαθμολογικά Κέντρα - να χρησιμοποιηθεί γνώση που αναφέρεται σε άλλο μέρος του βιβλίου άνευ απόδειξης.
Παιδιά genuine απορία. ο καθηγητής στο σχολειό μας ισχυρίζεται πως δεν θα έπρεπε να θεωρούμε τους εξής τύπους:
1. e^x>=x+1
2.lnx<=x-1
ως δεδομένους και θα πρέπει όταν τους χρησιμοποιούμε να τους αποδεικνύουμε πρώτα . Το οποίο καταλαβαίνω γιατί το κάνει -εξάλλου αποδευκνύονται πολυ εύκολα με την παράγωγο- ,από την άλλη στις πανελλήνιες που ο χρόνος μετράει αντίστροφα, δεν ξερώ αν αξίζει ο χρόνος. Για ποιο λόγο και ο μπάρλας και ο παπαδάκης ισχυρίζονται οτί τους τύπους αυτούς τους παίρνουμε ως γνωστούς? Δεν διαβάζω σχολικό βιβλίο( για ευνόητους λόγους) αλλά άμα κάποιος γνωρίζει τι παίζει σχετικά με αυτό το θέμα θα ήθελα πολύ να το αναφέρετε.
Πρώτον, κακώς δε διαβάζεις από το σχολικό - δε στο λέω για να νιώσεις άσχημα, μέρες που είναι, αλλά γιατί προλαβαίνεις να κάνεις ένα ξεσκόνισμα κι εκεί.
Δεύτερον, και οι δύο ανισότητες θεωρούνται γνωστές και τις χρησιμοποιείτε άνευ απόδειξης - δες την παράθεση της @Athena apo για τη σχετική οδηγία. Αυτοί οι τύποι έχουν κι ένα άλλο επιστημολογικό ενδιαφέρον που συνηγορεί υπέρ του να μη χρησιμοποιούνται με απόδειξη. Για να τους αποδείξει - τον δεύτερο - το σχολικό βιβλίο χρησιμοποιεί την παραγωγισιμότητα του λογαρίθμου. Ωστόσο - αναφέρομαι σε εκτός ύλης πράγματα τώρα - για να αποδειχθεί η παραγωγισιμότητα του λογαρίθμου χρησιμοποιείται η ανισότητα ln x <= x-1
πράγμα που καθιστά την απόδειξη του σχολικού βιβλίου κυκλική και άνευ νοήματος - το έχει επισημάνει και πριν από 2-3 χρόνια ο κ. Πολύζος σε σχετική του παρουσίαση στη Λιβαδειά. Η αλήθεια είναι ότι, originally, οι παραπάνω ανισότητες αποδεικνύονται με εργαλεία εκτός του λυκείου που δεν έχουν να κάνουν άμεσα με την παραγωγισιμότητα γι' αυτό και στο λύκειο προκύπτει αυτό το πρόβλημα.
TL;DR: Τις χρησιμοποιείς χωρίς να σε νοιάζει.
Πράγματι κυριολεκτικά κύκλοι γιατί το παίρνουν αβίαστα ως δεδομένο κατά την επίλυση .
Αλλά περίμενε, ένα λεπτό . Εαν μπορούσες να "μαγειρέψεις" ένα όριο που θα έπαιρνε σημαντικά πολύ χρόνο για να λυθεί και κατέληγε με την οριακή έκφραση του e και άντε πες κάτι να το πολλαπλασιάζει ή να το διαιρεί ;
Οπότε σε όσους έκοβε και το έβλεπαν ,θα γλίτωναν στο τέλος λίγο χρόνο . Δεν έχει πολύ κακές προοπτικές αυτή η εκδοχή νομίζω,ειδικά εαν τους είχε βγει λίγο η πίστη να καταλήξουν στην σωστή μορφή για να το αναγνωρίσουν . Και όσοι δεν το έβλεπαν,θα τους έβγαινε ακόμα παραπάνω η πίστη .
Εντάξει, εκεί θα χάναμε το νόημα των εξετάσεων. :Ρ Σκέψου ότι στις οδηγίες το ΙΕΠ μας λέει να διδάσκουμε τα όρια με μόνη πρόθεση να αναδείξουμε βασικά όρια και την ιδέα. :Ρ
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
06-06-20
21:24
ωραιος.δεν το ξερα οτι υπηρχε μεσα στο σχολικο.ειναι αρκετα πονηρο οριο παντως αν δεν παρεις χαμπαρι το κολπο με το να πολλαπλασιασεις και να διαιρεσεις με χ.Βεβαια ο l hospital ειναι εκτος υλης οποτε δεν μπορει να πεσει
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
δεν μπορει να πεσει αυτο με τον ορισμο του e με την καμια.στο τελος θα ζητηθει και το οριο της ακολουθιας n οστη ριζα n!
Μη μου τρομοκρατείς τα παιδιά. Το ΙΕΠ έχει εκδώσει οδηγία η οποία νομιμοποιεί τη χρήση DLH ακόμα και φέτος - έπειτα από σχετική γκρίνια, βέβαια...
Το άλλο είναι στην αρχή σχετικά του 5ου κεφαλαίου της άλγεβρας της Β' λυκείου - δεν αναφέρει όρια κ.λπ. αλλά παίρνει διαδοχικά τιμές για το ν, μέσα από το πρόβλημα των ανατοκισμών.
Eίσαι σωστός,το είχαν αλλά σε μορφή ακολουθίας . Χμ,βλέπω τι εννοείς,το είχα ξεχάσει αυτό . Είναι δύσκολο οπότε γιατί θα χρησιμοποιήσουν a posteriori την γνώση που θες να τσεκάρεις . Το είχα καημό πολύ καιρό να το δω ,αλλά δεδομένου του τρόπου που διδάσκεται μάλλον δεν παίζει .
Να σου πω, σκέφτηκα κάτι άλλο τώρα. Το e είναι ο μοναδικός αριθμός που μπορούμε να βάλουμε στη θέση του α για τον οποίο η ανισότητα:
ισχύει για κάθε πραγματικό x. Αυτό υπάρχει στο σχολικό. Ωστόσο, χρησιμοποιούμε την παράγωγο της εκθετικής για να το αποδείξουμε, που προϋποθέτει ότι έχουμε μιλήσει για έναν αριθμό c με την ιδιότητα
Πληγές ξύνεις τώρα, άσε... :Ρ
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
06-06-20
18:49
Αυτό που θεωρώ οτι θα ήταν πονηρό , είναι κάποιο όριο που θα οδηγούσε στον ορισμό του e και θα έπρεπε κάποιος να το δει για να λύσει το φαινομενικά "περίπλοκο" όριο . Αλλά το τι είναι πονηρό ή όχι εξαρτάται φυσικά απο το επίπεδο του κάθε μαθητή . Για ορισμένα παιδιά θα ήταν τελείως αστείο κάτι τέτοιο,αλλά τα περισσότερα φαντάζομαι θα τα σκάλωνε . Πιστεύω δυσκολάκι να γίνει αυτό όμως γιατί το e αντιμετωπίζεται ως σταθερά και σπανίως γίνεται εκτεταμένη συζήτηση για την σημασία του,τους διάφορους ορισμούς που μπορεί να δώσει κάποιος κτλπ.
Το e μπαίνει στη Β' λυκείου σαν το «όριο» - εντός πολλών εισαγωγικών - της ακολουθίας:
μέσω του προβλήματος του ανατοκισμού, αλλά μετά αντιμετωπίζεται ως σταθερός αριθμός μεταξύ του 2 και του 3, «ξεχνώντας» τον ορισμό του.
Οπότε, αν ήθελες να θίξεις τον «ορισμό» του e θα έπρεπε να βάλεις αυτό το όριο, κάπως, χρησιμοποιώντας μία συνάρτηση της μορφής:
όπου μπορείς να βάλεις κάποια g(x) στη θέση του x αρκεί να απειρίζεται κάπου. Ωστόσο, οι συναρτήσεις με μεταβλητό εκθέτη και μεταβλητή βάση ορίζονται - στο λύκειο σίγουρα, αλλά όχι μόνο - ως:
οπότε, αν πας να βάλεις ένα τέτοιο όριο θα το κάνουν έτσι όλα τα παιδιά και θα πάει στράφι ο κόπος. Το έχω σκεφτεί πολλές φορές, αλλά δεν έχω βρει τρόπο να το χώσω ομαλά σε διαγώνισμα ως τώρα. :Ρ
Τώρα, μπορείς να ψάξεις και κάτι με τον ορισμό:
αλλά ποιο παιδί θα το εκτιμήσει αυτό; :Ρ
Όπως και να έχει, σπαστικό το e στο λύκειο. Και το πώς ορίζονται οι εκθετικές συναρτήσεις και οι λογάριθμοι και όλα. Μου φαίνεται πρέπει να την κόψουμε την πολύ ανάλυση στο λύκειο. :Ρ
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
06-06-20
18:33
Πονηροτατο οριο που θα την πατησει κοσμος!lim(ημχlnx) χ τεινει στο μηδεν.Αν δεν δεις την κινηση που πρεπει θα τρελαθει στις πραξεις και δεν θα βγαλει τιποτα
Υπάρχει παρόμοια άσκηση στο σχολικό βιβλίο, στην οποία έχει και υπόδειξη - με τη νέα σελιδοποίηση, σελ. 169, Β' Ομάδα, ασκ. 6.
Το τρυκ είναι να γράψεις:
και να πάρεις ξεχωριστά τα όρια.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-06-20
12:07
Θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε λιγάκι πως βγαίνει ο τύπος του γ1 και στο γ4 πως ξεκινώ γιατί οκ ξέρω τι πρέπει να ισχύει για να διέρχεται απτό μ.και να εφάπτεται στην ε αλλά αρχικη μορφή των ζητούμενων ευθειών ποια είναι; Επίσης Δ3 και Δ4 αν θα μπορούσε κανείς να μου εξηγήσει πως λύνονται. Ξέρω πολλές μαζεμένες απορίες, αλλά.παλευω μπας και πιάσω 12-13
Για κάθε επιπρόσθετο πρόγραμμα από 0 έως 50 (αφού μιλάμε για μετά τα 100 και πριν τα 150) χρεώνεσαι από 1€ λιγότερο, άρα καθώς το x «τρέχει» από 0 μέχρι 50 (τα επιπλέον) η χρέωση πέφτει για όλα όσα πάρεις (και για τα επιπλέον και για τα πρώτα 100) κατά 1€, οπότε η χρέωση είναι 120-χ. Άρα έχεις:
Για το Γ4, γράψε τη μορφή της εξίσωσης μίας ευθείας που διέρχεται από αυτό το σημείο και σκέψου τι πάει να πει να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της E.
Για το Δ3, παρατήρησε ότι η ζητούμενη ανισότητα, αν τη μαγειρέψεις λίγο γράφεται g(0)>2g(1/2).
Για το Δ4, θεώρησε τη συνάρτηση:
που παρουσιάζει ελάχιστα στα 0 και 1, άρα από Fermat h'(0)=h'(1)=0, όπου:
Από τα παραπάνω βρίσκεις ότι f(0)=-1 και f(1)=-1 άρα το ζητούμενο είναι ένα Rolle μακριά.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
31-05-20
13:21
Το Δγ) είναι άσκηση του σχολικού. Για την ακρίβεια: σελ. 110, Β' ομάδα, ασκ. 3.
Παιδιά, πρώτα κοιτάμε να λύσουμε όλες τις ασκήσεις του σχολικού και μετά πάμε παρακάτω. Είναι το βασικό μας εγχειρίδιο το σχολικό βιβλίο!
Παιδιά, πρώτα κοιτάμε να λύσουμε όλες τις ασκήσεις του σχολικού και μετά πάμε παρακάτω. Είναι το βασικό μας εγχειρίδιο το σχολικό βιβλίο!
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
28-05-20
01:52
Θεωρείτε πιθανό φέτος να πέσει πρόβλημα μεγιστοποιησης ή ρυθμού μεταβολής με σχήμα; (δεν εννοώ τα ερωτήματα που αναφέρονται σε ένα κινητό που κινείτε πάνω σε μια καμπύλη κλπ αναφέρομαι στα θέματα που χρειάζεσαι γνώσεις γεωμετρίας-τριγωνομετριας για να λύσεις)
Γιατί όχι; Άλλωστε, υπάρχουν αναφορές στα τελευταία χρόνια και για τα δύο ζητήματα και είναι και εντός ύλης. Δεδομένου ότι φέτος πετσοκόψανε και την ύλη, γιατί να μην πέσει και κάτι τέτοιο;
Σκέψου επίσης ότι τα τελευταία χρόνια, ορθώς, δίνεται έμφαση στις έννοιες, τις παρανοήσεις και τις γνώσεις από όλα τα προηγούμενα χρόνια του σχολείου, οπότε, why not; (ξανά)
Αλλά, αυτά σε επίπεδο κουβέντας καφενείου. Τα θέματα θα τα αποφασίσει η επιτροπή εκείνη τη νύχτα της 16ης Ιουνίου, σε ένα ανήλιαγο υπόγειο (αφού θα είναι νύχτα, βέβαια, δε μας νοιάζει το ανήλιαγο).
Συντρέχουν πολλοί λόγοι πίσω από το να μην εξετάζονται αυτούσια προβλήματα στις πανελλήνιες στα μαθηματικά που είναι «διπλωματικού» περιεχομένου και δεν αφορούν αμιγώς την παιδαγωγική διαδικασία καθ' εαυτή, οπότε δεν μπορούμε να απαντήσουμε και τόσο «απλά» σε αυτήν την ερώτηση.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
25-05-20
22:30
Το θέμα είναι από πανελλαδικές. Νομίζω επαναληπτικές 2018. Μπορείς να βρεις τις λύσεις online.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
25-05-20
14:07
Υποδείξεις:
- Για το α) απλά θεωρείς τη συνάρτηση h(x)=lnx-3+x και κάνεις Bolzano + μονοτονία (είναι απλό).
- Για το β) παραγώγισε και θα αναχθείς στο προηγούμενο ερώτημα μετά από πράξεις - η παράγωγος έχει το ίδιο πρόσημο/ρίζες με την h(x).
- Για το γ) πάρε το αποτέλεσμα του β) και κάνε Bolzano στα διαστήματα πριν και μετά το x_0.
- Για το δ) παίξε με τις ρίζες και το ολικό ελάχιστο της f - ΘΜΤ κ.λπ.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
17-05-20
18:23
To τελευταιο οριο βγαινει αν διαιρεσεις αριθμητη και παρονομαστη με το 5^χ δημιουργονται εκθετικες συναρτησεις που η βαση τους ειναι <1 αρα το οριο στο +00 ειναι 0 και ο παρονομαστης εχει οριο -1.αρα 0/-1=0 το οριο.Στην αρχη βεβαια παρατηρουμε οτι εχουμε απροσδιοριστιες στον αριθμητη και παρονομαστη +00-(+00).Προσοχη δεν μπορουμε να εφαρμοσουμε τον κανονα de l hospital!
Τυπικά, μπορείς να κάνεις de l'Hospital αλλά θέλει προσοχή η αιτιολόγηση. Επίσης, δε βγάζει κάπου ο de l'Hospital. Ωστόσο, οι υποθέσεις του θεωρήματος ικανοποιούνται.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
17-05-20
14:18
Μία στα γρήγορα - γιατί περισσότερο θα σε βοηθήσει να σου δίνουμε υποδείξεις παρά να στα λύνουμε όλα. Όπως έλεγε κι ένας καθηγητής μου στη σχολή, «το βασικό στα μαθηματικά είναι "παιδάκι πάρει μολυβάκι γράψει"». Επομένως, μερικές υποδείξεις είναι οι ακόλουθες:
- Για το 3α) απλά γράφεις τους ορισμούς συνέχειας και πραγωγισιμότητας και λύνεις το σύστημα που προκύπτει.
- Για το 3β) η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο [0,3].
- Για το 3γ) απλώς παραγωγίζεις με προσοχή.
- Για το 3δ) χρησιμοποιείς τα παραπάνω αλλά, αν θες να είσαι εντός της ύλης του κορωνοϊού, επικαλείσαι την άλγεβρα της Α' λυκείου που εξηγείται σαφώς πώς σχεδιάζουμε παραβολές - η f είναι κατά τμήματα παραβολή.
- Άμεσο από τα παραπάνω. Για την αντίστροφη εργάζεσαι κατά τα γνωστά.
- Για το 4α) ο καθορισμός της h είναι εύκολος. Για το ολικό ελάχιστο, θέλει προσοχή η παράγωγος καθώς, πέρα από Θ. Bolzano θα σου χρειαστεί και το πρόσημό της.
- Για το 4β) απλά γράφεις όλα τα δεδομένα και βγαίνει, είναι τυπική άσκηση ρυθμού μεταβολής - παραγωγίζεις τη σχέση που ικανοποιούν οι συντεταγμένες κ.λπ.
- Για το 4γ) θεώρησε τη συνάρτηση:
και μελέτησέ τη ως προς τη μονοτονία. - Κλασσικό όριο, κάνε αντικατάσταση τον τύπο της f και κάνε τις σωστές παραγοντοποιήσεις σε αριθμητή και παρονομαστή.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
16-05-20
11:55
λες max(f(x),0) και ταυτοχρονα min(f(x),0).πως γινεται αυτο?
Θεωρείς δύο νέες συναρτήσεις. Την g(x)=max(f(x),0) και την h(x)=min(f(x),0) και αν τις αθροίσεις βγάζεις την f.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
16-05-20
02:22
πως αποδεικνυεται αυτο απο περιεργια
Αν σου πω ότι είναι μια χαζομάρα που μου είχε πάρει κάτι ώρες στο 1ο έτος να το βρω. Θεωρείς τις συναρτήσεις max(f(x),0) και min(f(x),0) και τις προσθέτεις. Αυτό μόνο... :Ρ
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
15-05-20
19:50
παιδια καλησπερα ,θα ηθελα καποιος αν μπορει να μου λυσει την απορια
Εστω οτι έχω μια συνεχη συναρτηση f(x) η οποια ειναι μικροτερη απο το μηδεν σε ενα διαστημα και μια g(x) επισης συνεχης η οποια ειναι μεγαλυτερη του μηδενος στο ιδιο διστημα
Αν θεωρω ωσ μια h(x) το αθροισμα τους μπορω να πω οτι η h ειναι διαφορη απο το μηδεν και αφου ειναι και συνεχης θα διατηρει σταθερο προσημο?
Όχι. Πάρε f(x)=x και g(x)=-x στο (0,1). Θετική η μία, αρνητική η άλλη αλλά το άθροισμά τους είναι f(x)+g(x)=0 στο (0,1).
Γενικότερα, μπορείς να αποδείξεις ότι κάθε συνάρτηση - όχι κατ' ανάγκη συνεχής - προκύπτει ως το άθροισμα μίας μη αρνητικής και μίας αρνητικής συνάρτησης - οπότε δεν ισχύει καθόλου αυτό που αναφέρεις. Πώς όμως έφτασες σε αυτό το συμπέρασμα;
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
08-05-20
11:00
ωπα σορρυ δεν το ειδα.αυτη η ασκηση ειναι πολυ καλη και δεν νομιζω να χει πεσει ποτε τετοια διατυπωση σε πανελληνιες.θα κλαιγανε αρκετοι αν επεφτε γτ θα πηγαινανε παπαπαγαλιστι να βγαλουνε το τουλαχιστον με μπολζανο
Η τεχνική «Rolle-άτοπο» είναι από τις πιο κλασσικές. Δε θέλω να μειώσω την άσκηση, αλλά όποια βοήθημα ή φροντιστηριακό εγχειρίδιο και να ανοίξεις θα δεις χιλιάδες παραλλαγές μέσα.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
07-05-20
22:31
Δεν είναι κάποιες συγκεκριμένες συναρτήσεις απλά είχα δει κάπου να λύνεται ένα τέτοιου είδους ερώτημα βρίσκοντας τα σύνολα τιμών και ως λύσεις της g(x) = f(x) να δίνονται τα κοινά σημεία των συνόλων τιμών. Απλα εμένα μου είχε φανεί λάθος αυτό καθώς μπορεί 2 συναρτήσεις να παίρνουν κάποιες κοινές τιμές αλλά δεν τέμνονται απαραίτητα σε αυτές
Ναι, εν γένει δεν είναι σωστό αυτό - π.χ. f(x)=x και g(x)=x+1. Μήπως έκανε και κάτι άλλο;
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
07-05-20
17:23
Καλημέρα, όταν μας ζητάει να βρούμε τα σημεία που τέμνονται 2 συναρτήσεις που είναι σε διαφορετικη μορφή(εννοώ δεν μπορούμε να το βρούμε με κανονικές πράξεις) πέρα από την επιλογή να τα πάμε όλα στο πρώτο μέρος, να θέσουμε συνάρτηση και να αποδείξουμε ότι μια προφανής ρίζα είναι μοναδική τι άλλο μπορούμε να κάνουμε;
ΥΓ: με γνώσεις επιπέδου πανελλήνιων εννοώ
Ανάλογα την περίπτωση. Μπορείς, με την ύλη προ περικοπών, να δείξεις ότι η μία είναι κυρτή, η άλλη κοίλη και ότι δέχονται στο ίδιο σημείο κοινή εφαπτομένη - οπότε το μόνο κοινό σημείο τους είναι το κοινό σημείο επαφής.
Μπορεί το να τα «φέρεις» όλα στο πρώτο μέλος «φροντιστηριακά» - δηλαδή απλώς να πας να αφαιρέσεις τα πάντα από τα δύο μέλη και έτσι στο δεξί να σου μείνει 0 - να μην οδηγεί σε βολική συνάρτηση. Ίσως, αν γνωρίζεις ότι ένα από τα δύο μέλη είναι μη μηδενικά, να πρέπει να διαιρέσεις και τα δύο μέλη με αυτό.
Ίσως να χρειάζεται να αποδείξεις μία ανισότητα - π.χ. με ΘΜΤ - και να συμπεράνεις ότι το σημείο τομής που είδες «με το μάτι» είναι μοναδικό.
Ίσως να χρειάζεται να επικαλεστείς κάποια γνωστή ανισότητα.
Πολλά παίζουν. Ποιες είναι οι συναρτήσεις στην περίπτωσή σου;
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
06-05-20
22:52
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
06-05-20
00:46
I see what you mean there .
Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που η πρόταση είναι λάθος όπως έδειξα,εαν υπάρχει το όριο . Επομένως το "λάθος" όπως το εννοούν δεν το λαμβάνουν υπόψιν τους ως αντινομία απ'ότι καταλαβαίνω ε ;
Έτσι όπως είναι γραμμένη η πρόταση στο θέμα, συγχέεται το «συνεπάγεται» της καθομιλουμένης με τη μαθηματική συνεπαγωγή. Πρακτικά, αν μιλήσεις για πρωτοβάθμια κατηγορήματα κ.λπ. και υποθέσεις ότι όλες οι μεταβλητές ποσοδεικνύονται από καθολικό ποσοδείκτη - στην περίπτωσή μας η συνάρτηση f είναι η μόνη μεταβλητή που μας ενδιαφέρει μαζί με το όριο l - τότε μπορείς να βρεις φ και λ για να αντικαταστήσεις στις f και l έτσι ώστε η πρόταση να είναι ψευδής - υπό την έννοια ότι θα ισχύει η υπόθεση ενώ θα ισχύει και το συμπέρασμα. Ωστόσο, πολύ μπλέξιμο χωρίς λόγο στην προκειμένη, για ένα διαγώνισμα που είναι, εν γένει, μέτριο σε όλα τα θέματά του.
αρχιζω και σε χανω εγω τωρα.αντινομια τι σημαινει??νομικος ορος ακουγεται.ειναι ασχημα διατυπωμενη η προταση.σιγουρα αν επεφτε πανελληνιες θα γινοταν κακος χαμος
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
Aν η προταση διατυπωνοταν ως εξης:Aν υπαρχουν τα ορια της f kai απολυτο f και ισχυει limαπολυτοf=απολυτο l τοτε δεν συνεπαγεται οτι limf=l ή -l τοτε η προταση θα ηταν λαθος διοτι για να υπαρχει το οριο της f δοθεντος οτι το οριο της απολυτου f ειναι απολυτο l δεν θα επρεπε να αλλαζει προσημο κοντα στο χ0 η f.
Δε χρειάζεται να επισημάνουμε ότι υπάρχει το όριο της |f|, αφού αναφέρουμε ότι υπάρχει της f.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
05-05-20
01:06
Λοιπόν, σε σχέση με το πολύπαθο Σ-Λ, ας το δούμε λίγο αναλυτικά.
Έχουμε τον ισχυρισμό:
«Αν
τότε δεν συνεπάγεται ότι
ή
»
Αρχικά, ας κάνουμε μία κουβέντα περί συνεπαγωγών. Ας πούμε ότι έχουμε μία συνεπαγωγή της μορφής
. Τι πάει να πει αυτό; Πάει να πει ότι αν ισχύει το Α τότε πρέπει να ισχύει και το Β έτσι ώστε το σύμβολο
να είναι αληθές.
Κι αν δεν ισχύει το Α; Τότε τι γίνεται; Τότε, πολύ απλά, δε μας νοιάζει. Αν το Α είναι ψευδές - αν δηλαδή δεν ισχύει η υπόθεσή μας - τότε λέμε ότι το σύμβολο
είναι αληθές. Με άλλα λόγια, αντί να γράφουμε
θα μπορούσαμε να γράφουμε/λέμε «Β ή όχι Α». Με άλλα λόγια, μία συνεπαγωγή είναι αληθής αν ισχύει τουλάχιστον ένα από τα παρακάτω:
Ή, με (πιο) άλλα λόγια: από αλήθεια συμπεραίνεις μόνο αλήθεια ενώ από το ψέμα συμπεραίνεις ότι θες.
Επομένως, πηγαίνοντας τώρα πίσω στην αρχική πρόταση, όπου είχαμε μία συνεπαγωγή της μορφής
με:
A:
ή
Επομένως, για να μην ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι
αλλά να μην ισχύει ότι:
ή
για κάποια συνάρτηση f. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η
Της οποία το όριο δεν υπάρχει στο 0, ωστόσο η |f| έχει όριο 1. Άρα δεν ισχύει η συνεπαγωγή, άρα η πρόταση είναι σωστή.
Να πούμε εδώ ότι ως θέμα είναι κακό, ειδικά για λύκειο. Όπως έλεγε κι ένας καθηγητής μας στη σχολή - με άλλη αφορμή, συνήθως, αλλά κολλάει: «εδώ καλά-καλά παιδιά που σπουδάζουν ή, ακόμα χειρότερα, έχουν αποφοιτήσει από το μαθηματικό, δεν μπορούν να χειριστούν τους ποσοδείκτες και τις αρνήσεις των ισχυρισμών και θα πάμε να τα ζητήσουμε από τα παιδιά του λυκείου;»
Οπότε, η πρόταση είναι σωστή αφού αυτό που εξετάζεται στην ουσία είναι αν μπορούμε ή όχι από την υπόθεση να συνάγουμε το συμπέρασμα - που δεν μπορούμε εδώ - και όχι αν ισχύει η υπόθεση. Άλλωστε, στα μαθηματικά δε μας νοιάζει αν ισχύουν οι υποθέσεις μας. :Ρ (το τελευταίο μην το πάρετε 100% στα σοβαρά αλλά ούτε και 100% στην πλάκα).
Έχουμε τον ισχυρισμό:
«Αν
Αρχικά, ας κάνουμε μία κουβέντα περί συνεπαγωγών. Ας πούμε ότι έχουμε μία συνεπαγωγή της μορφής
Κι αν δεν ισχύει το Α; Τότε τι γίνεται; Τότε, πολύ απλά, δε μας νοιάζει. Αν το Α είναι ψευδές - αν δηλαδή δεν ισχύει η υπόθεσή μας - τότε λέμε ότι το σύμβολο
- ισχύει το συμπέρασμα,
- δεν ισχύει η υπόθεση.
Ή, με (πιο) άλλα λόγια: από αλήθεια συμπεραίνεις μόνο αλήθεια ενώ από το ψέμα συμπεραίνεις ότι θες.
Επομένως, πηγαίνοντας τώρα πίσω στην αρχική πρόταση, όπου είχαμε μία συνεπαγωγή της μορφής
A:
Επομένως, για να μην ισχύει η συνεπαγωγή πρέπει να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι
αλλά να μην ισχύει ότι:
για κάποια συνάρτηση f. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η
Της οποία το όριο δεν υπάρχει στο 0, ωστόσο η |f| έχει όριο 1. Άρα δεν ισχύει η συνεπαγωγή, άρα η πρόταση είναι σωστή.
Να πούμε εδώ ότι ως θέμα είναι κακό, ειδικά για λύκειο. Όπως έλεγε κι ένας καθηγητής μας στη σχολή - με άλλη αφορμή, συνήθως, αλλά κολλάει: «εδώ καλά-καλά παιδιά που σπουδάζουν ή, ακόμα χειρότερα, έχουν αποφοιτήσει από το μαθηματικό, δεν μπορούν να χειριστούν τους ποσοδείκτες και τις αρνήσεις των ισχυρισμών και θα πάμε να τα ζητήσουμε από τα παιδιά του λυκείου;»
Οπότε, η πρόταση είναι σωστή αφού αυτό που εξετάζεται στην ουσία είναι αν μπορούμε ή όχι από την υπόθεση να συνάγουμε το συμπέρασμα - που δεν μπορούμε εδώ - και όχι αν ισχύει η υπόθεση. Άλλωστε, στα μαθηματικά δε μας νοιάζει αν ισχύουν οι υποθέσεις μας. :Ρ (το τελευταίο μην το πάρετε 100% στα σοβαρά αλλά ούτε και 100% στην πλάκα).
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
02-05-20
15:15
Προφανης ερωτηση αλλα πως αποδεινυεται.f(x)>0 αποδειχτε οτι το οριο limf(x)>=0
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
Το βρηκα εστω οτι limf(x)<=0 τοτε κοντα στο χ0 f(x)<=0 ατοπο
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
Kατι αλλο.Αν σας δωσουν 2 συναρτησεις με οριο στο χ0 οτι υπαρχει και μετα σας πουν υπαρχει το οριο του αθροισματος απλα την πατησατε διοτι δεν ξερετε αν το οριο ειναι πραγματικοι αριθμοι γτ αν ειναι απειρα μπορει να πεσετε σε απροσδιοριστια που μπορει να μην υπαρχει το οριο.Παπαγαλιζοντας απο το βιλιο αυτη τη λεπτομερεια δεν την καταλαβαινετε
Αρχικά, αν ήθελες να το «αποδείξεις» στα πλαίσια της σχολικής ύλης με απαγωγή σε άτοπο θα έπρεπε να υποθέσεις ότι
Σε σχέση με το άλλο, γενικά στον απειροστικό όταν λέμε ότι ένα όριο υπάρχει εννοούμε ότι είναι πραγματικός αριθμός. Αν θέλουμε να συμπεριλάβουμε και τα άπειρα στην όλη υπόθεση χρησιμοποιούμε εκφράσεις του τύπου το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός ή άπειρο ή το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός για να αποκλείσουμε όποια παρανόηση. Δεν είναι ο στόχος των θεμάτων απλά να παίξουν με τις λέξεις - γι' αυτό και τέτοια θέματα δεν είναι «έξυπνα» αλλά αστοχίες της όποιας εξεταστικής επιτροπής.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
27-04-20
20:08
Ναι αυτό σκεφτόμουν, οτι παρα είναι τετριμμένο για να ζητηθεί .
Απ'όσο θυμάμαι δεν παίζουν πολύ στο λύκειο με τα δ όμως,ούτε στα όρια .
Έχει αλλάξει κάτι απο τότε ;
Όχι, ούτε κατά διάνοια, είναι εκτός φιλοσοφίας. Όλα αυτά καλύπτονται, όταν αυτό χρειάζεται, από τη χρήση του όρου «κοντά».
παρε πχ τη συναρτηση f(x)=(x-1)/e^x εχει τοπικο μεγιστο στο χ=2 το οποιο ομως ειναι και ολικο.εκει τι να αποδειξεις.να παρεις τα ορια στο -00 και στο +00.ψιλοαυτονοητο
Αναφέρομαι στους δύο ορισμούς και στο ότι ο δεύτερος (τοπικό μέγιστο) γενικεύει τον πρώτο, υπό την έννοια ότι ισχύει το εξής:
Αν η f παρουσιάζει στο α ολικό μέγιστο τότε παρουσιάζει και τοπικό μέγιστο εκεί.
Το παραπάνω είναι τετριμμένο, αλλά από τη σκοπιά της λογικής αποτελεί θεώρημα και θέλει απόδειξη. Τίποτα παραπάνω. Σε επίπεδο καθημερινής χρήσης των μαθηματικών δεν μας απασχολεί καθόλου όλο αυτό.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
27-04-20
19:46
Πράγματι, σε ευχαριστώ για την παρατήρηση .
Ούτε εγώ καταλαβαίνω ακριβώς την πρόταση, εφόσον το μέγιστο ορίζεται έτσι ώστε να είναι το μεγαλύτερο απο όλα τα τοπικά μέγιστα .
Ορισμός: Αν
Ορισμός: Αν
Οι ορισμοί είναι ξεχωριστοί και ο ένας δεν κάνει αναφορά στον άλλον. Απλώς, είναι τετριμμένο να αποδείξεις ότι ένα (ολικό) μέγιστο είναι και τοπικό. Τετριμμένο, μεν, αλλά θέλει απόδειξη (προφανώς εκτός λυκείου αυτά, στο λύκειο θεωρείται προφανές).
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
26-04-20
21:51
View attachment 69314
Είμαι 99% σίγουρος πως στο β χρησιμοποιώ το ξ του Α και κάνω 2 ΘΜΤ αλλά δεν μου βγαίνουν οι πράξεις
Για το β') ερώτημα, μπορείς να πάρεις
Όπως και να έχει, είναι τελείως κλασσική άσκηση το β') ερώτημα. Για τα διευκολυνθούμε, ας γράψουμε λίγο το ζητούμενο ως εξής:
Τώρα μυριζόμαστε ότι πρέπει να σπάσουμε το [1,3] σε δύο τμήματα, στο πρώτο να δώσουμε τα 2/3 του μήκους και στο δεύτερο το 1/3. Έτσι, σπάμε το [1,3] στα [1,7/3] και [7/3,3]. Τώρα, η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ και στα δύο οπότε βρίσκουμε
Τώρα, βλέπουμε ότι:
που ήταν το ζητούμενο.
Είναι κλασσικές ασκήσεις αυτές, προσοχή - όχι ότι έχουν ενδιαφέρον, αλλά είναι κρίμα να χάσεις μονάδες από τα στανταράκια.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
25-04-20
19:03
Η σχέση είναι αυτή, αν την είδα καλά:
Αντικαθιστώντας το 0 - κλασικό αυτό σε τέτοιες ασκήσεις - παίρνουμε αμέσως ότι f(0)=0.
Θεωρούμε για αρχή τη συνάρτηση:
οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η g είναι μηδενική. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι g(0)=0 και:
Επίσης, g'(0)=0 (εύκολο αυτό, απλά παραγωγίζουμε).
Οπότε η δοσμένη σχέση ξαναγράφεται ως εξής:
Πού, άμα κάνουμε τις πράξεις, δίνει:
(1)
Τώρα, αν x>0, διαιρώντας με x παίρνουμε:
οπότε, παίρνοντας και ένα όριο καθώς το χ «πέφτει» προς το 0 έχουμε:
αφού:
Αν τώρα x<0 τότε διαιρούμε και πάλι με x, απλώς θα αλλάξει η φορά, οπότε παίρνουμε:
και, για τους ίδιους λόγους παίρνοντας όριο καθώς το x «ανεβαίνει» προς το 0:
Οπότε παίρνομε τις σχέσεις:
Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε:
Οπότε, αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:
που ήταν και το ζητούμενο.
Μερικές οδηγίες για αυτές τις ασκήσεις είναι:
Αντικαθιστώντας το 0 - κλασικό αυτό σε τέτοιες ασκήσεις - παίρνουμε αμέσως ότι f(0)=0.
Θεωρούμε για αρχή τη συνάρτηση:
οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η g είναι μηδενική. Αρχικά, ας παρατηρήσουμε ότι g(0)=0 και:
Επίσης, g'(0)=0 (εύκολο αυτό, απλά παραγωγίζουμε).
Οπότε η δοσμένη σχέση ξαναγράφεται ως εξής:
Πού, άμα κάνουμε τις πράξεις, δίνει:
Τώρα, αν x>0, διαιρώντας με x παίρνουμε:
οπότε, παίρνοντας και ένα όριο καθώς το χ «πέφτει» προς το 0 έχουμε:
αφού:
Αν τώρα x<0 τότε διαιρούμε και πάλι με x, απλώς θα αλλάξει η φορά, οπότε παίρνουμε:
και, για τους ίδιους λόγους παίρνοντας όριο καθώς το x «ανεβαίνει» προς το 0:
Οπότε παίρνομε τις σχέσεις:
Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε:
Οπότε, αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε:
που ήταν και το ζητούμενο.
Μερικές οδηγίες για αυτές τις ασκήσεις είναι:
- Δεν πανικοβαλόμαστε.
- Όταν σου δίνει και κάποιες τιμές της συνάρτησης, δοκίμασε να τις αξιοποιήσεις κάπως. Αν είναι τιμές της ίδιας της συνάρτησης, αντικατάστησε τα νούμερα να δεις τι βγάζει. Αν είναι, όπως εδώ, για κάποια παράγωγο, τότε δες την επόμενη συμβουλή (χεχεχε).
- Σου λέει κάτι για την παράγωγο και σου δίνει και μία ανισότητα. Σιγά τα αυγά, αφού δεν έχει νόημα να παραγωγίσουμε μία ανισότητα. Οπότε, εδώ έρχεται λίγο μία πιο ουσιαστική σκέψη στο παιχνίδι. Τι είναι η παράγωγος; Μα, το όριο του λόγου μεταβολής. Όριο, λοιπόν, σου δίνει σαν υπόθεση. Και σου δίνει και ανισότητα. Χμμμ... Μπορείς να πάρεις όριο σε ανισότητα χωρίς να «χαλάσει». Άρα, κάπως πρέπει να εμφανίσεις τον λόγο μεταβολής μέσα στην ανισότητα.
- Εδώ κάναμε και ένα άλλο κόλπο. Σου έλεγε, δείξε ότι f(x)=ημx. Ωραία, αλλά αυτό δε σημαίνει ότι δεν μπορείς να παίξεις με το ζητούμενο. Σύνηθες τρυκ είναι αυτό που είδες, μιας και το να δείξεις ότι μία συνάρτηση είναι 0 είναι, συνήθως, λίγο πιο απλό στο μάτι.
- Γενικά, σχεδόν ποτέ μία δύσκολη άσκηση δε βγαίνει με το να ξεκινήσουμε από τα δεδομένα μας και, ντουγρού, να πάμε στα ζητούμενα με συμπεράσματα που θα βγάζουμε το ένα πίσω από το άλλο (forward chaining, που λέμε). Το σύνηθες εδώ είναι να δουλεύουμε με τη μέθοδο του «αρκεί». Ξεκινάς από το ζητούμενο και βρίσκεις είτε άλλες διατυπώσεις του (όπως κάναμε εδώ) είτε πράγματα που αν ισχύουν, δίνουν μαζί με άλλα συμπεράσματα ενδεχομένως, και το ζητούμενο.
- Keep it simple! Μαθηματικά κάνουμε, δεν κάνουμε πυρηνική φυσική (αυτό πάει και σε άλλο thread... :Ρ). Τι κάναμε παραπάνω στην ουσία; Είδαμε στις υποθέσεις μία παράγωγο σε ένα σημείο, πήραμε τον ορισμό της παραγώγου. Είδαμε το
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
12-04-20
22:02
Μιας και πέρασε η ώρα, ας βάλουμε και λίγο από το Β4.
Η h είναι παραγωγίσιμη, με:
λόγω της δοσμένης σχέσης. Άρα η h είναι σταθερή και επειδή h(0)=1, έπεται ότι h(x)=1 σε όλο το R.
Για το επόμενο, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να κάνουμε το εξής:
Οπότε, έπεται ότι g(x)=x+f(x)+c, και για x=0 βρίσκεις το c=0 και όλα καλά.
Η h είναι παραγωγίσιμη, με:
λόγω της δοσμένης σχέσης. Άρα η h είναι σταθερή και επειδή h(0)=1, έπεται ότι h(x)=1 σε όλο το R.
Για το επόμενο, ας παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να κάνουμε το εξής:
Οπότε, έπεται ότι g(x)=x+f(x)+c, και για x=0 βρίσκεις το c=0 και όλα καλά.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
12-04-20
14:30
καλημερα φιλοι, τι εχετε να πειτε για την ραγδαια μειωση της υλης στα μαθηματικα στις πανελλαδικες?
πως τα βλεπετε τα θεματα φετος?
Μια χαρά θα είναι. Δε θα πέσει DLH, αλλά, για την κυρτότητα, για παράδειγμα, και που την έκοψαν, δεν αλλάζει κάτι. Ό,τι ακριβώς λύνεται με χρήση της κυρτότητας μπορεί να λυθεί και χωρίς αυτήν - απλώς θα γίνει άμεση αναφορά στη μονοτονία της f'.
Ίσως να νταλγκαδιάσετε λίγο στο Β' θέμα που δε θα έχει ζωγραφική αλλά να θυμίσουμε ότι:
- υπάρχει κι ο ρυθμός μεταβολής (χεχεχε),
- είναι εντός ύλης οι γνωστές συναρτήσεις των οποίων τις γραφικές παραστάσεις γνωρίζετε και, επομένως, μαζί με μεταφορές, ανακλάσεις και τα συναφή, μπορείτε εύκολα να κληθείτε να σχεδιάσετε κάποια τέτοια γραφική παράσταση, όπως για παράδειγμα αυτήν της:
Τώρα, για πιο σύνθετα όρια, που ως τώρα είχατε μάθει να τα χειρίζεστε κυρίως με DLH, όπως, για παράδειγμα, το
άνετα μπορεί να σας ζητηθεί να αποδείξετε μία ανισότητα σε ένα ερώτημα και μετά να υπολογίσετε το όριο με κριτήριο παρεμβολής ή θεώρημα «πραμαζώματος» κ.λπ.
Οπότε, απλώς θα γίνει μία μεγαλύτερη εστίαση στο πρώτο μέρος της ύλης και ίσως τα θέματα να γίνουν λίγο πιο τεχνικά, να εμφανιστεί κι ένα πρόβλημα μέσα στα τρία τελευταία θέματα - όπως αυτό με το σύρμα και το τετράγωνο και τον κύκλο, για παράδειγμα - ή κάτι παρεμφερές.
Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων:
Ορίστε τα θέματα ...τώρα φαίνονται καθαρά θα ήθελα τις λύσεις για να τις μελετήσω των β3 β4 γ3 γ4
View attachment 69115View attachment 69116
Τα Β3 και Β4 πάλεψέ τα λίγο ακόμα, νομίζω ότι θα τα βγάλεις - στο Β4 δεν έχεις παρά να παραγωγίσεις την h και θα βγει.
Για το Γ3, τώρα, πρόσεξε ότι, αφού f(x)=x-1 έπεται άμεσα ότι το ζητούμενο μπορεί να ξαναγραφτεί στη μορφή:
Τώρα, παρατήρησε ότι αν θεωρήσεις τη συνάρτηση s(x)=xg(x)-g(x) τότε έχεις άμεσα ότι s'(x)=g(x)+xg'(x)-g(x), και μπορείς να κάνεις ένα Rolle στην s στο [0,1], οπότε έπεται το ζητούμενο.
Για το Γ4, πρόσεξε ότι f(x)=x-1 οπότε μπορείς να γράψεις το ζητούμενο πολύ πιο απλά, αντικαθιστώντας, ως εξής - γενικά, μην κομπλάρετε σε τέτοια «τρυκ», την έχετε την f:
Τώρα, για το τελευταίο, μπορείς να κάνεις ένα Θ.Μ.Τ. στο (x,0) και να εκμεταλλευτείς την μονοτονία της g'.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
12-04-20
02:16
Θα μπορούσε κάποιος να μου στείλει τις λύσεις του θέματος α4 και θέμα β αν γίνεται και σήμερα (δεν είναι μεγάλο ) για να τα μελετήσω παρακαλώ?
View attachment 69101
Για το Α4:
α) Λάθος γιατί λείπει η σταθερά c - π.χ. f(x)=x και g(x)=x-2.
β) Σωστό διότι υπάρχουν α,β διαφορετικά μεταξύ τους με f(α)=f(β) κ.λπ.
γ) Λάθος ενδεχομένως να ισχύει και το «=» - έχει αντιπαράδειγμα το σχολικό.
δ) Σωστό βλ. παραπάνω (ωστόσο, κακή ερώτηση για Σ-Λ)
ε) Λάθος είναι το (Β,Α).
Για το θέμα Β, επειδή έχει πάει 2 το χάραμα, ας δούμε κάποιες υποδείξεις:
Β1. Ξαναγράψε τη σχέση που σου δίνει ως εξής:
Μήπως τώρα βλέπεις αριστερά και δεξιά κάποιες παραγώγους;
Β2. Δεν έχει κάτι το ιδιαίτερο η παραγώγιση. Για την ακρίβεια, έχουμε:
και από εδώ βρίσκεις εύκολα τη δεύτερη παράγωγο και την μονοτονία - θετική παράγωγος κ.λπ.
Β3. Η f είναι γνησίως αύξουσα και στη συνέχεια λύνεις την f(x)=y ως προς x. Ίσως να πρέπει να θυμηθείς πώς λύνουμε άρρητες εξισώσεις/ανισώσεις - που, βέβαια, τα τελευταία χρόνια είναι εκτός ύλης στην Β' λυκείου. Για την ακρίβεια, έχεις:
Εδώ αφήνεις μόνο του το ριζικό, υψώνεις στο τετράγωνο και λύνεις τη δευτεροβάθμια που προκύπτει - πρόσεξε τους όποιους περιορισμούς προκύψουν.
Β4. i) Δε βλέπω τη σχέση καθαρά στο screenshot, έχει και κάτι κουτάκια, πάντως 99% παραγωγίζεις την h και βρίσκεις μηδενική παράγωγο.
ii) Εδώ είναι εύκολο. Από την απο πάνω έχεις h(x)=c και με g(0)=0 βρίσκεις το c (ή με το g'(0), δεν ξέρω τι «κρύβουν» τα κουτάκια) και μετά βρίσκεις από εκεί την g και αντικαθιστάς.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
04-04-20
20:27
Πριν 10 λεπτά τέλειωσα διαγώνισμα στο διαφορικό λογισμό και στο Θέμα Γ τα σκ@τωσ@ με συγχωρείτε για την έκφραση :p. Παραθέτω και αν θέλετε πείτε μου τις απόψεις σας για τη λύση που θ γράφατε.
Μόνο την εφαπτομένη βρήκα και πείτε μου ότι φ'(1)=-1/3 αλλιώς θα φαρμακωθώ
Κοίτα, το πρώτο ερώτημα είναι "σχεδόν" άσκηση του σχολικού - σελ. 104, Β8. Όπως και να έχει, λόγω της συνέχειας της f - την φ εννοώ, αλλά είναι κουραστικό να γράφεις φ στο LaTeX :Ρ - το δοσμένο όριο είναι της μορφής 0/0 και μπορείς να τραβήξεις έναν de L'Hospital, μιας και το όριο που θα βρεις στο τέλος υπάρχει.
Διότι:
και
Οπότε, παίρνεις αμέσως f''(1)=3. Τώρα, αφού η δεύτερη παράγωγος είναι συνεχής και δεν έχει ρίζες, θα διατηρεί πρόσημο στο R - γνωστή συνέπεια του Θ. Bolzano - άρα, αφού f''(1)>0, έπεται ότι f''(x)>0 σε όλο το R άρα η f είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της.
Για το δεύτερο, έχεις το f(1)=1, σου λείπε το f'(1). Μπορείς να θεωρήσεις τη συνάρτηση:
για την οποία παρατηρείς ότι, από τη δοσμένη ανισότητα εύκολα παίρνεις:
Η g είναι παραγωγίσιμη - σύνθεση παραγωγίσιμων και διαφορές κ.λπ. - με παράγωγο:
οπότε:
Τώρα, αφού η g είναι παραγωγίσιμη, το 1 είναι στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της και παρουσιάζει εκεί ακρότατο από το Θ. του Fermat έχουμε g'(1)=0, άρα f'(1)=-1/3. Έτσι, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
Για το τρίτο, τώρα, βοηθάει να ξαναγράψεις τη ζητούμενη εξίσωση ως εξής:
Εδώ τώρα πρέπει να κάνεις το "κλικ" και να θεωρήσεις τη συνάρτηση:
η οποία είναι παραγωγίσιμη και μάλιστα:
διότι η f είναι κυρτή, άρα και η f' γνησίως αύξουσα και χ < χ + 2. Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα και «1-1». Παρατήρησε τώρα ότι η δοσμένη εξίσωση μπορεί να γραφτεί με τη βοήθεια της h ως εξής:
Εδώ έχεις φτάσει σε διτετράγωνη, είναι ύλη της Α' λυκείου πια. Θέτεις και στο τέλος βρίσκεις
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
02-04-20
17:19
Καλησπερα φιλοι, ειμαι καινουργιος στην κοινοτητα και θα ηθελα να μου πειτε την αποψη σας για την παρακατω λυση. Δεν ειμαι σιγουρος αν ειναι σωστη η αν δεν ειναι σωστη
Γενικά, κράτα τη λύση του @Samael, καθώς είναι σωστή. Αυτό που εσύ έχεις αποδείξει, όπως είπες και μόνος σου, είναι ότι «f(f(0))=0 αν και μόνον αν f(0)=2». Ωστόσο, αυτό δε σημαίνει ότι ισχύει κάτι από τα δύο, απλά, όταν ένα από τα δύο ισχύει τότε (και μόνον τότε) ισχύει και το άλλο. Επομένως, δεν μπορείς να ισχυριστείς ότι f(0)=2 «ελαφρά τη καρδία».
Για λόγους πληρότητας, να δώσω κι άλλη μία λύση εδώ - όλες παραλλαγές της ίδιας ιδέας είναι, βέβαια. Αρχικά, αφού η f είναι «1-1» - άρα και αντιστρέψιμη - μπορούμε να την εφαρμόζουμε σε ισότητες χωρίς «φόβο» - με ισοδυναμίες, δηλαδή. Ξεκινάμε, λοιπόν, από το να αλλάξουμε λίγο το ζητούμενο:
Αρκεί, επομένως, να δείξουμε ότι
οπότε και ξεμπερδέψαμε.
Γενικά, πέρα από το να ξεκινάς από τις υποθέσεις και να προσπαθείς να παραγάγεις το αποτέλεσμα που θες, μπορείς πρώτα να ξεκινάς και:
- είτε να αναδιατυπώνεις το ζητούμενο, όπως εδώ, σε μία πιο απλή μορφή,
- είτε να υποθέτεις (στο πρόχειρο) ότι ισχύει το ζητούμενο και να καταλήγεις σε κάποιες λογικές συνέπειες που έχει αυτό (είναι λίγο γενικότερο από το πρώτο αυτό, μιας και δεν προχωράς απαραίτητα με λογικές ισοδυναμίες).
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
20-03-20
14:42
Και εγώ μέχρι σήμερα θυμόμουν οτι το βιβλίο τα είχε ως δυο διαφορετικές περιπτώσεις ενώ επι της ουσίας , κοιτάζοντας την σχετική θεωρία πάλι σήμερα , παρατήρησα οτι η οριζόντια είναι απλά μια εκφυλισμένη περίπτωση της πλάγιας . Προσωπικά θα προτιμούσα αυτή την ερμηνεία,τώρα εαν κάποιος θέλει να τα αντιμετωπίζει διαφορετικά αυτά τα δύο οτι τον βολεύει καλύτερα υποθέτω,ωστόσο είναι τα ίδια πράγματα .
Ο σκοπός του βιβλίου είναι καθαρά διδακτικός - και καλά κάνει. Η μόνη συνάρτηση για την οποία γνωρίζουν a priori ότι έχει ασυμπτωτική συμπεριφορά στα άπειρα είναι η 1/χ, η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον άξονα των χ - και στα δύο άπειρα. Από εκεί, παρατηρώντας τη, γενικεύεται αυτή η συμπεριφορά σε κάθε κλίση. Τυπικά μιλώντας, η έννοια τη ασύμπτωτης εισάγεται και στην Β' λυκείου με τις υπερβολές, αλλά πια δεν είναι στη διδακτέα ύλη - επί του πρακτέου, ό,τι κι αν έλεγε το υπουργείο, ποτέ δε δινόταν έμφαση στις ασύμπτωτες υπερβολής τα τελευταία χρόνια.
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
19-03-20
22:13
@Samael Ένα σχόλιο για τις κατακόρυφες ασύμπτωτες και τα όρια, για να μην υπάρχουν παρανοήσεις.
Δεν υπάρχει κατακόρυφη στο 0+ και κατακόρυφη στο 0- (ούτε στα μαθηματικά ούτε στο σχολικό βιβλίο). Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη σε ένα σημείο α του πεδίου ορισμού της αν τουλάχιστον ένα από τα δύο πλευρικά είναι άπειρο (οποιοδήποτε από τα δύο άπειρα). Επομένως, όταν μας βγαίνει το ένα πλευρικό και μας ζητείται μόνο ασύμπτωτη, δε χρειάζεται να το ψάξουμε παραπάνω - εδώ που ήθελε τη γραφική παράσταση, θα το υπολογίζαμε ούτως ή άλλως, βέβαια.
Επίσης, για τις πλάγιες και τις οριζόντιες, ο διαχωρισμός σε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες γίνεται στο σχολικό βιβλίο για διδακτικούς σκοπούς - ορθώς γίνεται. Πρακτικά, ο ορισμός και τα θεωρήματα είναι τα ίδια - απλώς παίρνεις λ=0.
Σε σχέση τώρα με τα όρια, το πρόβλημα δεν είναι μόνο αν απειρίζεται ένα όριο, αλλά αν υπάρχει, εν γένει - το λέω για τα "β" αυτό. Για παράδειγμα το όριο
(μηδενική επί φραγμένη) οπότε λες λ=0, ενώ το όριο:
δεν υπάρχει - χωρίς όμως να απειρίζεται ή κάτι τέτοιο, υπάρχει ουσιώδες πρόβλημα στα άπειρα.
Κατά τα άλλα, άψογος!
Δεν υπάρχει κατακόρυφη στο 0+ και κατακόρυφη στο 0- (ούτε στα μαθηματικά ούτε στο σχολικό βιβλίο). Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη σε ένα σημείο α του πεδίου ορισμού της αν τουλάχιστον ένα από τα δύο πλευρικά είναι άπειρο (οποιοδήποτε από τα δύο άπειρα). Επομένως, όταν μας βγαίνει το ένα πλευρικό και μας ζητείται μόνο ασύμπτωτη, δε χρειάζεται να το ψάξουμε παραπάνω - εδώ που ήθελε τη γραφική παράσταση, θα το υπολογίζαμε ούτως ή άλλως, βέβαια.
Επίσης, για τις πλάγιες και τις οριζόντιες, ο διαχωρισμός σε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες γίνεται στο σχολικό βιβλίο για διδακτικούς σκοπούς - ορθώς γίνεται. Πρακτικά, ο ορισμός και τα θεωρήματα είναι τα ίδια - απλώς παίρνεις λ=0.
Σε σχέση τώρα με τα όρια, το πρόβλημα δεν είναι μόνο αν απειρίζεται ένα όριο, αλλά αν υπάρχει, εν γένει - το λέω για τα "β" αυτό. Για παράδειγμα το όριο
(μηδενική επί φραγμένη) οπότε λες λ=0, ενώ το όριο:
δεν υπάρχει - χωρίς όμως να απειρίζεται ή κάτι τέτοιο, υπάρχει ουσιώδες πρόβλημα στα άπειρα.
Κατά τα άλλα, άψογος!
Μάρκος Βασίλης
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 28 ετών, επαγγέλεται Μαθηματικός και μας γράφει απο Καισαριανή (Αττική). Έχει γράψει 1,871 μηνύματα.
22-02-20
15:30
Θα μπορούσατε να μου στείλετε τις λύσεις των ασκήσεων σήμερα παρακαλώ....θα το εκτιμούσα πολύ
Να ρωτήσω τι έχεις προσπαθήσει ή αν έχει κάποια συγκεκριμένη απορία; Γιατί, δεν ξέρω που θα σε βοηθήσει να σου λύσει απλώς κάποιο άλλο άτομο τις ασκήσεις σου. Ειδικά, μάλιστα, με deadline...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.